By A. Ostrowski

Der vorliegende zweite Band meiner Aufgabensammlung entspricht in der Auswahl des Stoffes dem Inhalt des zweiten Bandes meiner Vorlesungen uber Differential- und Integralrechnung. Er enthalt neben den Erganzungen zur Infinitesimalrechnung einer Variablen grundlegenden Stoff aus der Infinitesimalrechnung mit mehreren Vari ablen nebst Anwendungen auf numerische Rechenmethoden, sowie auf die Differentialgeometrie. Das Buch kann naturlich auch ohne gleich zeitige Benutzung meines Lehrbuches verwendet werden, da auch in diesem Band in jedem Abschnitt der in Frage kommende Hintergrund an Begriffen, Formeln und Satzen zusammengestellt ist, von dem aus die Aufgaben angepackt werden konnen. Wie im ersten Band, sind die Losungen der Aufgaben zumeist in zwei Schritten angegeben, zuerst in den Hinweisen und sodann in den Losungen . Aus praktischen Grunden ist dieser Band in zwei getrennte und einzeln erhaltliche Teilbande aufgeteilt worden, von denen der erste (II A) Aufgaben und Hinweise und der zweite (II B) Losungen enthalt. Der Verlag hat wie immer den zahlreichen Wunschen des Autors mit freundlicher Geduld und Ausdauer entsprochen.

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Konv. f. alle x -I)•I I I x+v :§x+n+I :§n+I' n ( ~ 0 gleichmäßig ist. ~1 37. Nach d. ~o 38. " 1 2 --dx s x - (n + I) n I <-- j" e-s(x+•"> n+I · :rr sinx e-sx x dx = 0 sinx dx x+vn tb d t, 353 L § 8. Funktionenfolgen und Funktionenreihen mit wachsendem v abnimmt, gilt nach d. Leibnizschen Kriterium f (•f+l)n e-sx sinx dx I ~ I" e-s(x+(n+l)n) sinx dx < I/(8)- v=l x x+(n+l)n vn _l_ • n+l 0 39. Wegen l l L -~ 1+-, v=1V 8-l 00 8 40. _) dx. v• x• v• V x• V Hier ist nach d. MWS d. -Rechnung l v• l X-'V x• (x+ 1J)s+1 --- = 8 u.

D. -Darstellung folgt, wenn m. -Variable einführt. D. Formel (I) folgt X dann direkt aus A 75 § 6. , daß aus (3} f. n = 0 u. o = (1-t)ndt l+t' 0 woraus d. Beh. nach A75 § 6 u. A62 § 7 folgt. 67. (3) folgt aus (1) f. k = 1. Ersetzt m. +l ==> 0 (v-.. oo, k ~ 0); ersetzt m. - oo, k ~ 0). Durch Subtraktion v. (I') v. (I") folgt (4). (3) u. + 2k+l-d• ==> 0. Wird in d. +2k-dv-l ==> 0 u. wegen d. + 2 k- d. ==> 0. Damit gilt allgemein dr+s- d. ==> 0 (v -.. oo, s ganz ~ 0 ). Das ist aber d. Cauchy-Bolzanosche Kriterium.

Wie schon in L 103 benutzt wurde. 106. Nach A 103 genügt es, d. Konv. v. _ 1 ( (J(8v-1)-g(8. , u. d. Reihe rechts ist offenbar konv. 107. D. J - - 8v 8v-1 •=2 8, •- 1) · g(x) nimmt mit wachsendem x monoton ab, u. m. ---x g(x) dx = s· (x1) X2 no "• so daß A 106 anwendbar ist. f dx = f1/no f(x) dx, lfv 108. Denn es ist nach d. "endlichen" Hölderschen Ungl. (§ 21 Bd. I): L § 7. Unendliche Reihen e= I09. D. Höldersche Ungl. liefert f. llO. Daher konv. d. ) a•. Andererseits ist •=2 •=1 1) a. e. Majorante v.

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